Αρχική > Χωρίς κατηγορία >

28/10/2010

Η ΕΝΣΩΜΑΤΩΣΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

Στο άρθρο αυτό, που θα συμπεριλάβει δυο εργασίες, θα καταβληθεί μια προσπάθεια εκ μέρους του αρθρογράφου του, με όσο το δυνατόν πιο απλά λόγια και χρήση μαθηματικών, να σχολιάσει τα μαθηματικά κατασκευάσματα, των θεωριών της κλασικής φυσικής, ειδικής και γενικής σχετικότητας, καθώς και της σύγχρονης φυσικής.                                                         Στη πρώτη εργασία του άρθρου αυτού, θ’ αναφερθούμε στα επιτεύγματα της εφαρμογής των Μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες και ιδιαίτερα στη εφαρμογή της νέα μαθηματικής μεθόδου στη μηχανική του Νεύτωνα. Στη δεύτερη εργασία του άρθρου, θ’ ασχοληθούμε με την Ψευτοευκλείδεια και Ρημάνεια Γεωμετρία καθώς και με τα διαγράμματα του Minkowski.                                                                                                 Όπως γνωρίζουμε, ο Νεύτων μαζί με τον Γερμανό Μαθηματικό Leibnitz, ανακάλυψαν συγχρόνως και οι δυο, μια νέα μαθηματική μέθοδο, που την ονόμασαν απειροστικό λογισμό {ΑΛ}, όπου, ο μεν πρώτος την είδε ως αναγκαιότητα στην έκφραση της φυσικής νομοτέλειας, ο δε δεύτερος ως αναγκαία διεύρυνση της μαθηματικής επιστήμης.

Ο ΑΛ, αποτελείται ως γνωστόν από δυο μαθηματικές πράξεις την παραγώγηση και την ολοκλήρωση {αντίθετες πράξεις, όπως π.χ. ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση}.                 Ο ΑΛ που αποτελεί ίσως, από την εποχή του Νεύτωνα, τη μοναδική μέθοδο που χρησιμοποιείται σε όλες τις θεωρίες της φυσικής, ασχολείται με την εφαρμογή των μαθηματικών κανόνων και πράξεων, στα απείρως μικρά μεγέθη {απειροστά}.                                                      Για να ρίξουμε περισσότερο φως στη κατανόηση του ΑΛ, θα πρέπει δυστυχώς, να υπενθυμίσουμε στους αγαπητούς μας αναγνώστες αυτού του άρθρου, λίγα πράγματα από το πως συμπεριφέρονται, τα απειροστά αυτά μεγέθη, απέναντι στις μαθηματικές πράξεις και τους κανόνες, όπως π.χ. στην διαίρεση δια του μηδενός ή στον σχηματισμό του ορίου του λόγου δυο απειροστών μεγεθών.                                                                                                                               Έστω α, β δύο μεταβλητές που ταυτόχρονα και οι δύο τείνουν προς το μηδέν {Στα μαθηματικά αυτοί οι συλλογισμοί συμβολίζονται με α→0, β→0 και οι μεταβλητές ονομάζονται απειροστές}. Τότε το όριο του πηλίκου τους β:α δεν προσδιορίζετε από το θεώρημα των πηλίκων, που λέει ότι: «Το όριο του πηλίκου είναι το πηλίκο των ορίων». Εδώ δεν πρέπει να ξεχνάμε την προϋπόθεση ότι τα α, β δεν γίνονται ποτέ μηδέν. Αν ο λόγος β:α τείνει προς μία πεπερασμένη οριακή τιμή, διάφορη του μηδενός, τότε και ο λόγος α:β τείνει προς μία πεπερασμένη οριακή τιμή διάφορη του μηδενός. Σ’ αυτήν την περίπτωση ονομάζουμε τις μεταβλητές α και β απειροστά μεγέθη μίας και της αυτής τάξης. Αν ο λόγος β:ακ στον οποίο το κ ЄR+ {Το υπογραμμένο μονώνυμο εκφράζει στα μαθηματικά ότι: «το κ είναι στοιχείο του συνόλου των θετικών πραγματικών αριθμών», όπου ασφαλώς το R παριστάνει το σύνολο των πραγματικών αριθμών, Real = Πραγματικός}, τείνει προς ένα πεπερασμένο μη μηδενικό όριο c {και εδώ χρησιμοποιώντας την μαθηματική γλώσσα, εκφράζουμε τον προηγούμενο συλλογισμό μας με {β: ακ}→c όπου c≠0, μην ξεχνάτε ότι το c=constant} τότε το β είναι σε σχέση με το α, κατώτερο απειροστό κ-ης τάξης.                 Εάν το {β:c ακ}→ 1, τότε τα β και c ακ είναι ισοδύναμα απείρως μικρά μεγέθη, ή ισοδύναμα απειροστά. Εδώ εύκολα μπορούμε να συμπεράνουμε, ότι η διαφορά δ = β– c ακ είναι απειροστό ανώτερης τάξης σε σχέση με το β. Η σχέση δ = β– c ακ γράφεται επίσης και ως β =c ακ+ δ στην οποία γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι το δ είναι απειροστό μικρότερης τάξης από το c ακ.                                                                                                                                  Στην περίπτωση που το όριο του λόγου β:α είναι το μηδέν {0} τότε το β είναι απειροστό ανώτερης τάξης από το α ή και το αντίστροφο, δηλαδή ότι το α είναι απειροστό κατώτερης τάξης από το β. Εδώ λέμε ότι η ταχύτητα μηδενισμού του β είναι πολύ ποιο μεγαλύτερη από την του α. Τέλος όταν ο λόγος β:α→∞ (απειρίζεται) τότε ο λόγος α:β→0 οπότε αναγόμαστε στην παραπάνω περίπτωση {β:α→0}.

Στις θετικές επιστήμες και ιδιαίτερα στη φυσική, έχουμε την τάση, όταν μελετούμε οποιαδήποτε φυσική λειτουργία, να την τεμαχίζουμε σε μικρά κομμάτια. Μάλιστα δε, εφαρμόζοντας σ’ αυτά, τα μικροσκοπικά κομματάκια, το διαφορικό νόμο (ΔΝ), μπορούμε να τα κάνουμε, όσο θέλουμε μικρά (όπως π.χ. απειροστά). Στη μαθηματική επιστήμη, οι διαφορικές εξισώσεις (Δ.Ε.) είναι μαθηματικοί τύποι, στους οποίους εμφανίζονται μεταβλητές (Variablen), οι παράγωγοί των (Ableitungen, ή Änderungsraten) και διάφορες σταθερές (Konstanten).                                                                                                                                                              Στην ποιο απλή της μορφή, μια Δ.Ε. παριστάνεται ως συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής π.χ. y = f(x). Η παράσταση (γράφημα) μιας απλής γραμμικής συνάρτηση είναι μια γραμμή, εξ’ ου και το όνομά της. Στις γραμμικές συναρτήσεις η εξαρτημένη μεταβλητή y, είναι πάντοτε κατ’ ευθείαν ανάλογος, της ανεξαρτήτου μεταβλητής x.                                                                          Ίσως τα παραδείγματα που θ’ ακολουθήσουν παρακάτω, ρίξουν περισσότερο φως, στην κατανόηση της εφαρμογής του απειροστικού λογισμού στις θετικές επιστήμες.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     Παράδειγμα 1: Στους νόμους κίνησης του Νεύτωνα, τα στιγμιαία μεγέθη της κίνησης, ορίζονται με την εφαρμογή του απειροστικού λογισμού (ΑΛ).                                                                                                                               Παράδειγμα 2: Ένα κιλό κεράσια κοστίζουν πέντε ευρώ, [y = f(x) =5x], τα δέκα κιλά κεράσια κοστίζουν πενήντα ευρώ κ.ο.κ.. Άρα και το προϊόν αλλά και η τιμή του, πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό, το δέκα.                                                                                                      Η τιμή της εφαπτομένης της γωνίας που σχηματίζει (Δy/Δx =dy/dx = 5 = const.) η γραμμή με τον x – άξονα, στο γράφημα, έχει σταθερή τιμή.                                                                                                                      Δυστυχώς δεν παίρνουμε τα ίδια αποτελέσματα, όταν έχουμε να κάνουμε με μη γραμμικά προβλήματα1).                                                                                                                          Παράδειγμα 3: Ένα κιλό κεράσια κοστίζουν πέντε ευρώ [y=f(x) =x2], τα δέκα κιλά κεράσια κοστίζουν πεντακόσια ευρώ. Άρα εδώ διαπιστώνουμε ότι για μια οποιαδήποτε μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής Δy, δεν παίρνουμε μια ανάλογη μεταβολή της ανεξαρτήτου μεταβλητής Δx. Επομένως δεν ισχύει η αναλογία μεταξύ των μεταβλητών, άρα δεν υπάρχει ισότητα μεταξύ των.                                                                                                                        Εάν όμως κάποιος, στην περιοχή ορισμού (x, x+dx), μιας συνάρτησης y=ƒ(x), αντικαταστήσει τη πεπερασμένη  διαφορά της Δy, με το διαφορικό της dy, μπορεί, θέτοντας τον κατάλληλο συντελεστή αναλογίας, που δεν είναι άλλος από την παράγωγό της {y’=f'(x)=dy:dx, στο γράφημα της, παίρνουμε την κλίση της εφαπτομένης}, να χρησιμοποιήσει την κατ’ ευθείαν αναλογία μεταξύ dy και dx και αυτό διότι, το σφάλμα που γίνεται κατά την αντικατάσταση, είναι απείρως μικρό μέγεθος (απειροστό) ανωτέρας τάξης σε σχέση με τα dy και dx. Εδώ ακριβώς στηρίζεται η χρήση του Δ.Ν. στην διατύπωση της μη γραμμικότητας στη φύση, στο ότι εξισώνοντας τις τιμές των μεταβλητών σε απειροστή μορφή, κάνουμε ένα λάθος , το οποίο όμως, αποδεικνύεται τόσο αμελητέο, που εάν το παραλείψουμε, εξακολουθούμε να παίρνουμε λύσεις των Δ.Ε., με άπειρη ακρίβεια.                                                                                                                                  Τα μαθηματικά μεγέθη, που περιγράφουν το φυσικό φαινόμενο και συνδέονται συναρτησιακά, συμβολίζονται στον Α.Λ, με το λατινικό γράμμα dx ή dy (το d μας θυμίζει το Differential = Διαφορικό) όπου τα x και y είναι μεταβλητές που εμφανίζονται ασφαλώς στο πρόβλημα, σε συναρτησιακή σχέση {Για πεπερασμένες διαφορές των μεταβλητών x και y, χρησιμοποιούμε το Ελληνικό γράμμα δ ή Δ} .

1) Διακρίνουμε γραμμικές και μη γραμμικές Δ.Ε. Δυστυχώς τα περισσότερα προβλήματα που συναντάμε στη φύση είναι μη γραμμικά. Άρα η μαθηματική τους περιγραφή, απαιτεί την κατασκευή δύσκολων και περίπλοκων συστημάτων Δ.Ε.

Η πρώτη μεγάλη ενοποίηση που έγινε ποτέ, στην ιστορία της μαθηματικής επιστήμης, πραγματοποιήθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό Καρτέσιο (Rene Cartesius 1596-1650).       Ο Καρτέσιος κατόρθωσε κάθε αλγεβρικό πρόβλημα να το μετατρέψει σε πρόβλημα γεωμετρικό, εισάγοντας την γέφυρα ενοποίησης, των δυο αυτών κλάδων των μαθηματικών, δηλαδή της Άλγεβρας και της Γεωμετρίας.                                                                                                                                  Ο Νεύτωνας ταύτιζε τον φυσικό χώρο της μηχανικής του, με τον μαθηματικό χώρο, που περιγράφει η Ευκλείδεια Γεωμετρία. Αυτό σήμαινε ότι όλα τα στοιχεία και αξιώματα της Γεωμετρίας των Ελλήνων εύρισκαν εφαρμογή στον φυσικό χώρο του Νεύτωνα.                  Επομένως ο χώρος της φυσικής του Νεύτωνα, είναι τρισδιάστατος, ομογενής, ισότροπος και αποτελείται από σημεία, αντίστοιχα των στοιχείων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.              Ο Ευκλείδειος χώρος χαρακτηρίζεται ως ένα Συνεχές1), στο οποίο η απόσταση μεταξύ δυο σημείων του, που δεν συμπίπτουν, δίδεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα.                                Τέτοιοι χώροι βαπτίζονται στη Φυσική ως μετρικοί χώροι, δηλαδή όταν η απόσταση μεταξύ των συστατικών του, στην προκειμένη περίπτωση σημείων, δίδεται με το Πυθαγόρειο θεώρημα. Επομένως το μέτρο του μετρικού τανυστή2) της κλασικής φυσικής, δίδεται ως άθροισμα τριών τετραγώνων                                                                                                                                          Ο χώρος της Ψευτοευκλείδειας Γεωμετρίας του H.Minkowski, όπως θα δούμε στη δεύτερη εργασία του άρθρου, έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με τον Ευκλείδειο, με την διαφορά ότι τα στοιχεία του ψευτοευκλείδειου χώρου αποτελούν τα σημειακά γεγονότα και ως εκ τούτου χρειαζόμαστε όπως είναι φυσικό, τέσσαρες συντεταγμένες {4 αριθμούς}, άρα 4 διαστάσεις του χώρου {τετραδιάστατο Συνεχές} και επομένως ο μετρικός τανυστής του χώρου αυτού εκφράζεται ως άθροισμα τεσσάρων τετραγώνων.                                                                                                Μάλιστα δε η τέταρτη διάσταση του γεγονότος, που αποτελεί ο χρόνος, είναι η μόνη διάσταση που πολλαπλασιάζεται με την φανταστική μονάδα. Περισσότερα στην άλλη εργασία του άρθρου.                                                                                                                                 Στην απειροστή μορφή ο μετρικός τανυστής {διάνυσμα θέσης} του Ευκλειδείου χώρου δίδεται ως:

(dr)2 = (dxi)2 + (dyj)2 + (dzk)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 (1)

Όπου  i2 = j2 = k2 = 1 μοναδιαία διανύσματα, παράλληλα αντιστοίχως, προς τους άξονες x-, y-,και  z- του ορθοκανονικού Καρτεσιανού συστήματος αξόνων.

1) Υπάρχει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων του συνόλου των πραγματικών αριθμών και των στοιχείων του συνόλου των γεωμετρικών σημείων. Όπως μας είναι γνωστό, το σύνολο των πραγματικών αριθμών χαρακτηρίζεται ως συνεχές. Εξ’ άλλου η κατασκευή ενός ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου με κάθετο πλευρά την μονάδα, είναι εφικτή στον Ευκλείδειο χώρο. Προσοχή με το σύνολο των ρητών αριθμών, το οποίο σχηματίζει αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών, οπότε είναι απαριθμήσουμε και δεν παρουσιάζει τον χαρακτήρα του συνεχούς.

2) Τανυστές είναι τα πιο εξελιγμένα και ανώτερα στοιχεία της μαθηματικής επιστήμης και διαιρούνται σε τάξεις. Στους τανυστές μηδενικής τάξης ανήκουν τα μονομετρικά {βαθμοτά} μεγέθη, ενώ στους τανυστές πρώτης τάξης ανήκουν τα διανύσματα. Στη φυσική βρίσκουν εφαρμογή, και τανυστές μεγαλυτέρων τάξεων, όπως στις θεωρίες της σχετικότητας και αλλού. Εδώ στην προκειμένη περίπτωσή μας, ο μετρικός τανυστής, εννοείται το άνυσμα θέσης, το οποίο συνήθως στον Ευκλείδειο χώρο συμβολίζεται με Δr. Το Δr = (Δx)i + (Δy)j + (Δz)k {έντονα γράμματα παριστάνουν διανύσματα}. Όπου τα I, j, k είναι τα μοναδιαία ανύσματα.

Σημ.: Η Ευκλείδεια γεωμετρία έχει γενετική σχέση με κατασκευές και με μετρήσεις που πραγματοποιούνται πάνω στην επιφάνειά της γης, εξ’ ου και τ’ όνομά της. Η κατασκευή ενός ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου, με κάθετη πλευρά την μονάδα, χάρισε στο σύνολο των στοιχείων της Ευκλείδειας γεωμετρίας, τον χαρακτήρα του συνεχούς. Ξέρετε πως οι αρχαίοι Αιγύπτιοι κατασκεύαζαν, τελείως οριζόντιες επιφάνειες! Έσκαβαν μια τάφρο 400Χ400 (m) και 1 (m) βάθος και παλουκώνανε κάθε 2 (m) και στις δυο κατευθύνσεις της τάφρου, παλούκια με 1,5 (m) ύψος (δηλαδή χρησιμοποιούσαν περίπου 40.000) και μετά γέμιζαν την τάφρο με νερό. Σημειώνοντας λοιπόν την στάθμη του νερού σε όλα τα παλούκια, είχαν με αυτόν τον τρόπο μια τέλεια οριζόντια επιφάνεια. Την επιφάνεια αυτή την χρησιμοποιούσαν ως βάση για την κατασκευή των τάφων των Φαραών τους.

Advertisements
Κατηγορίες:Χωρίς κατηγορία
Αρέσει σε %d bloggers: